Срочная публикация научной статьи
+7 995 770 98 40
+7 995 202 54 42
info@journalpro.ru
Эгамбердиева Барнахон Гулямджановна
Преподаватель кафедры «Высшей математики
и информационных технологий»
Андижанский сельскохозяйственный институт
E-mail: serius-bexruz@mail.ru
Пусть q(t)- кусочно-непрерывная, ограниченная, неотрицательная функция на отрезке a≤t≤b. Через N(γ) обозначим количество двукратных нулей нетривиального решения y(t;γ) уравнения
на отрезке a≤t≤b, то есть
Справедлива следующая теорема:
Теорема: Имеет место соотношение:
где ω - первый положительный корень уравнения chωcosω=1.
Доказательство:
а) пусть γq(t)=k4=const,a≤t≤b. Тогда нетрудно заметить, что уравнение (1) имеет общее решение вида:
Обозначим через - две соседние двукратные нули решения y(t), т.е.
Далее положив получим, что
, т.е.
Пусть ω - первый положительный корень уравнения , где
.
Отсюда заключаем, что , т.е.
.
Тогда число нулей уравнения (1) на отрезке
равно
Поэтому
б) пусть теперь - ступенчатая функция. Отрезок
разбит на конечное число отрезков
и
. Пусть
число двукратных нулей решения
уравнения (1) на отрезке
Тогда согласно пункту а) очевидно, что
с) пусть наконец, -произвольная кусочно-непрерывная функция. Разобьём отрезок
на n равных частей
и положив при
имеем:
,
,
Пусть - решения уравнения (1) в котором вместо
стоит
Обозначим через
число двукратных нулей
корней на
. Аналогичным образом определим
. Тогда в силу теоремы сравнения Штурма, легко обнаружить, что
Согласно предыдущим пунктам а) и б) имеем:
,
Отсюда при получим утверждение теоремы.
Литература: