Исследование простейших показательно-степенных функций

Аннотация: в работе исследуются простейшие показательно-степенные функции.

Ключевые слова: показательно-степенная функция, сложно-показательная функция, факториал.

Показательно-степенной функцией называется функция вида y=[f(x)]^g(x), где f(x) и g(x) – функции от некоторой переменной x. То есть неизвестная содержится и в основании, и в показателе степени.

Существует общая формула для нахождения производных таких функций y’= (g’ ln f + f’ g / f) f^g

Она находится следующим образом

ln y = ln f^g

ln y = g ln f

(ln y)’ = (g ln f)’

(1/y) y’ = g’ ln f + (ln f)’ g

(1/y) y’ = g’ ln f + (1/f) f’ g

y’= (g’ ln f + f’ g / f) y

В работе исследованы следующие функции: x^x и x^1/x.

Подставляя функции в основании и показателе, получаем значение производных:

(x^x)’= (ln x + 1) x^x

(x^1/x)’= ((-1/x²) ln x + 1/x² ) x^1/x = (1 – ln x) x^-2+1/x

Для обеих функций невозможно найти неопределенный интеграл, выраженный через элементарные функции.

Интересно поведение функций при отрицательных значениях аргумента, так как в этом случае меняется их знак, значения функций могут уходить в комплексную область.

В положительной области обе функции имеют положительное значение. В единице графики функций пересекаются в точке (1,1).

Функция x^x

- предел при стремлении значения аргумента к нулю справа равен единице,

- возрастает на знакоположительной области,

- предел при стремлении к бесконечности равен бесконечности.

Функция x^1/x

- предел при стремлении значения аргумента к нулю справа равен нулю,

- возрастает от нуля до e и убывает после,

- значение на знакоположительной области не превышает e^1/e,

- предел при стремлении к бесконечности равен единице.

Если сравнить функцию x^x и x! при неотрицательных целых значениях аргумента, то обнаружим, что функция x^x возрастает быстрее. Также при x равном степени основания системы счисления, получается значение, которое легко записать в используемой системе счисления.

Например, 10¹⁰ = 10 000 000 000 в десятичной. 

Литература

1. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. М.: Изд-во МГУ. Ч.1: 2-е изд., перераб., 1985. – С. 212-213