Стабилизация коэффициента усиления замкнутого контура в системе управления процессом резания

При проектировании систем автоматического управления (САУ) с моделями состояния процесса резания  одним из определяющих условий является поддержание стабильного коэффициента усиления контуров в условиях внешних возмущений. При формализованном описании внешних возмущений, обусловленных процессом резания, возникают  сложности, связанные со специфической природой явлений и  вероятностным характером их появления. Для учета возмущений  внешней среды в условиях нестабильности и неопределенности воспользуемся  настраиваемыми моделями отдельных структурных блоков САУ.

Для одномерных приводов, работа которых характеризуется показателем качества, зависящим от одной выходной координаты, построим модель, состоящую из четырех блоков: объекта управления или процесса резания; привода подачи; моментного датчика и устройства  автоматического управления. [4, с. 93]

Представим процесс резания моделью, включающей интегрирующее и инерционное звено, со структурной схемой, показанной на рис.1, где: S_M – заданное значение минутной подачи; Y₁(t) – входная координата объекта управления; Y₀(t) - выходная координата объекта управления; E₀(t – τ) - задержанное значение промежуточной переменной  E₀(t);  D₀  - приведенная податливость технологической системы; τ – время задержки прохождения входного сигнала; Y(t) – выходная координата с учетом нелинейности процесса резания; C_p – коэффициент пропорциональности численно равный произведению коэффициентов, учитывающих условия обработки; P(t) – сила резания.

На схеме видно, что нелинейность присущая процессу резания, для упрощения модели, вынесена за контур образованный податливостью технологической системы.

Рис. 1. Структурная схема модели процесса резания

Это позволяет исключить в процессе решения нелинейного алгебраического уравнения или эквивалентного ему итерационного процесса, неустойчивость процесса резания. В нашем случае считаем процесс резания устойчивым и не отождествляем устойчивость привода и процесса резания.

Согласно структурной схеме, динамику процесса резания опишем уравнением первого порядка:

Выходная координата объекта управления Y₀(t) вычисляется по реккурентному соотношению:

Первоначально принимаем E₀(t) = 0 и для задержки сигнала используем соответствующий блок.

Датчик момента, является динамическим элементом, входящим в неизменяемую часть системы. Представим его в виде апериодического звена первого порядка:

где Y₃(t) – выходная координата датчика;  - коэффициент передачи и постоянная времени датчика; М(t) - измеряемый момент.

Безинерционную нелинейность в объекте представим в виде изменения силы резания, определяемую выражением: 

где: Y – показатель степени при подаче.

Модель системы управления начинается с проверки скорости нарастания силы резания: 

Если  _,то S_M = 0, где: D_P и D_OP – скорость нарастания силы резания и допустимая скорость нарастания силы резания соответственно; ∆t – шаг квантования по времени.

Расчет рассогласования, обусловленного изменением силы резания E_P, выполним по регулируемому параметру P(t):

Если регулирование происходит одновременно по трем параметрам: силе; моменту; мощности, тогда выделяется минимальное из рассогласований E_R, поступающего на вход регулятора:

Для обеспечения инвариантности коэффициента передачи разомкнутого контура при регулировании момента или мощности резания выполняется учет влияния диаметра обработки и частоты вращения заготовки.

При регулировании момента одно и то же значение может быть получено при разных значениях силы резания Р и диаметра обработки D:

то же для мощности:

Используя (9) запишем отношение двух значений коэффициента передачи  объекта при различных значениях силы резания и подачи:

Используя выражение (10) соотношение коэффициентов передачи при различных значениях мощности и частоты вращения имеет вид:

Подставляя выражение для силы резания (5) в (9), получим значение подач при переходе от диаметра обработки D₁ к диаметру D₂:

и подставляя их в (11) получим выражение для коэффициента регулирования момента:

Точно также для регулирования мощности:

Из двух последних выражений видно, что при изменении диаметра и частоты вращения заготовки коэффициент передачи объекта управления равен:

Для обеспечения инвариантности передаточный коэффициент  должен изменяться в соответствии с (15) и (16). Таким образом, для сохранения коэффициента передачи на уровне K₁ необходимо помножить K₂ на коэффициенты, нелинейно зависящие от отклонения диаметров обработки и частоты вращения шпинделя.

Показатель степени Y, входящий в (15) и (16), выбирается по справочнику технолога [1]. Так для наружного точения стали Y = 0,4.

При вычислении нелинейно зависящих от отношения диаметров и частот вращения коэффициентов, применено разложение нелинейностей в ряд Тейлора с использованием полинома четвертой степени. Такой подход определяется точностью регулятора, когда допускаемая ошибка аппроксимации, должна составлять единицы процентов.

Определение значений выходных переменных регулятора и их суммы Y₁(t) проведем методом трапеций, используя линейную аппроксимацию процесса, согласно методике приведенной В.А. Кудиновым [3]. В качестве регулятора применим ПИД – регулятор для получения интегральной составляющей:

Производная от сигнала E_R(t),действующего на входе регулятора в момент
времени t, определяется выражением:

где коэффициенты передачи соответствующих составляющих регулятора оделяется из синтеза [2, 3] .

Определение выходных координат местной обратной связи в модели процесса резания, выполнено в виде последовательности апериодических звеньев и проведено с использованием дифференциально - разностного представления апериодического звена. Передаточная функция апериодического звена имеет вид:

которой соответствует отображение [57]

где , Z – оператор преобразования.

Отсюда дифференциально-разностное представление выходной координаты апериодического звена равно:

Аппроксимация запаздывания в объекте с четырьмя апериодическими звеньями позволяет при достаточной точности аппроксимации обеспечить устойчивость системы [5].

В этом случае на выходе сумматора, формирующего сигнал местной обратной связи, действует алгебраическая сумма пяти переменных с соответствующими коэффициентами передачи по каждому входу сумматора, определяемыми из соотношения: 

где – выходной сигнал обратной связи или текущее значение минутной подачи, определяемое датчиком скорости подачи;  – коэффициенты передачи в канале обратной связи, соответствующие производным от  и задержанным на, причем  запаздывание в объекте.

При использовании корректирующего блока или фильтра в модели процесса резания, расчет выходной координаты выполняется с
помощью апериодического звена первого порядка. Дифференциально-разностное представление этого фильтра аналогично (22) и определяется выражением:

где  – выходная координата фильтра;  – входная координата,.

Ограничения нижнего значения величины подачи на оборот , используемого для учета величины, обратной коэффициенту передачи объекта выполняется из условия:

где  – минимальное заранее заданное значение, определяющее верхнее значение коэффициента передачи контура самонастройки.

Предварительно значение  вычисляется делением текущего значения выходной координаты первого фильтра на текущее значение частоты вращения шпинделя n(t).

Расчет величины, обратной коэффициенту передачи объекта и выходного сигнала сумматора определим используя выражения:

Определение выходной переменной фильтра, являющегося цифровым аналогом интегродифференцирующего фильтра, выполняется по передаточной функции:

Используя прямое преобразование Лапласа получим дискретную передаточную функцию фильтра:

где  T = ∆t – шаг квантования по времени.

Первоначально для упрощения задачи при отладке использовался фильтр порядка   со значениями

Рассмотренный алгоритм управления процессом резания позволяет моделировать функционирование предельного адаптивного устройства и исследовать его поведение при различных входных воздействиях в условиях возмущений и ограничений.

Данное математическое обеспечение позволяет синтезировать и уточнять оптимальные значения настроечных параметров одномерных приводов, как составных частей нелинейной оптимальной системы управления.

Список литературы:

1.  Справочник технолога машиностроителя: в 2-х ч. / под ред. А.М. Дальского [и др.] – 5-е изд. испр. – М.: Машиностроение, 2003. -  944 с.: ил. – ISBN 5-94275-015-7.

2.  Гжиров,  Р.И. Программная обработка на станках с ЧПУ: справочник / Р.И. Гжиров, П.П. Серебрицкий. - Л.: Машиностроение, 1990. – 588 с.

3. Кудинов,  В.А. Динамика станков / В.А. Кудинов. – М.: Машиностроение, 1977. – 192 с

4. Легаев,  В.П. Модельное управление точностью обработки на металлорежущих станках: монография / В.П. Легаев, А.А. Кобзев, Л.К. Генералов.  – Владимир: ВлГУ, 2010. - 166 с. - ISBN 978-5-9984-0058-2.

5. Пат. 875335 А1 Российская Федерация. МПК⁵  G05B11/01. Устройство для регулирования силовых параметров процесса резания / Беляков В.И. Горнев В.Ф., Софрышев А.В..; заявитель и патентообладатель МГТУ им. Н.Э. Баумана. - № 28790730; заявл. 29.02.80; опубл. 23.10.81.