Евразийский
научный
журнал

Решения столетних проблем теории чисел

Поделитесь статьей с друзьями:
Автор(ы): Ситников Сергей
Рубрика: Физико-математические науки
Журнал: «Евразийский Научный Журнал №5 2018»  (май, 2018)
Количество просмотров статьи: 1027
Показать PDF версию Решения столетних проблем теории чисел

Сергей Ситников
Донецк.
E-mail: chitatel2000@yandex.ru

Математическая строгость в изложении работы нужна тогда, когда нет новых идей. Тогда да, новая комбинация из известных результатов, должна быть строго выверена. Но если новая идея приводит к решению, которое не требует продолжения, по каким то причинам. Тогда должно и можно остановиться. Оставляя простор для других соискателей истины, жертвуя математической строгостью при изложении своей работы.

Содержание

1. Рекуррентная формула алгоритма решета Эратосфена............................1

2. «Точное» значение.........................................................................2

3. Гипотеза Лежандра........................................................................5

4. Гипотеза Гольдбаха.......................................................................7

5. Доказательство гипотезы о бесконечности простых чисел, близнецов........9

Ключевые слова: Эратосфен. Простые числа. Лежандр. Гольдбах.

Рекуррентная формула алгоритма решета Эратосфена

1. Вывод формулы алгоритма

Если принять общее количество чисел за еденицу (1) и вычесть все числа делящиеся на два, получим числовой ряд состоящий только из нечётных чисел. Далее вычитаем из общего количества, числа делящиеся на три и прибавляем числа делящиеся на шесть, что бы избежать повторов при вычитании. И так далее, пока не останутся одни простые числа (p).

cppst_1.png

Рекуррентная формула алгоритма решета Эратосфена

Формула для вычисления количество простых чисел на интервале cppst_2.png

cppst_3.png

«Точное» значение"

1. Погрешность вычисления количества простых чисел на интервале cppst_4.png

cppst_5.png

На интервалах

cppst_6.png

нет простых чисел, так как интервалы меньше еденицы. Воспользуемся формулами

cppst_7.png

при помощи которых вычисляем количество простых чисел на интервалах

cppst_6.png

разница

cppst_8.png

должна быть равна нулю. Так как, на интервалах

cppst_6.png

нет простых чисел. Значит разница

cppst_9.png,

есть ничто иное, как погрешность вычисления

cppst_10.png

Величинами

cppst_12.png

можно пренебречь из-за малости этих величин.

Значит величина разницы

cppst_13.png

есть не что иное, как погрешность вычисления при a<1.

cppst_13.png (3)

cppst_14.png (4)

Вычитаем из формулы (3) формулу (4) получим формулу (5)

cppst_15.png (5)

cppst_16.png (5)

Получили вычитание количества простых чисел на интервале cppst_22.png двумя способами.

Вывод: Если в формулах (5) в двух способах, равное количество простых чисел.

cppst_17.png

cppst_18.png

Тогда для формулы первого способа

cppst_18.png

величина погрешности вычисляется по формуле (3)

Для второго способа по формуле (4)

cppst_19.png— 

Количество простых чисел на интервале cppst_22.png Вычисление с погрешностью

cppst_18.png

3. Точное" значение

cppst_20.png

Например: Простые числа 751, 757 573049-564001=9048

762,6242862648891 — 63,804883366791 = 698,8194028980978

Точное значение 695. Разница получается из неучтённых нюансов. Пренебрежение малыми величинами. Нужно шлифовать результат.

Гипотеза Лежандра

1. Пробел между соседними простыми числами

Введём два новых определения: Базисное число. Базис от базисного числа.

Базисное число — простое число pn , (n) номер простого числа.

Базис — составные числа кратные базисному числу. Базисное число входит в свой базис.

Доказать:

На любом отрезке длиной cppst_21.pngна интервале cppst_22.pngвсегда есть простое число.

Доказательство:

Каждый базис имеет свою оригинальную формулу алгоритма. Например: cppst_23.png формула алгоритма базиса от базисного числа pn. Каждый базис имеет своё, оригинальное расположение чисел базиса, выраженное формулой алгоритма, которое не повторяется ни в каком другом базисе. Каждый базис имеет своё размер. То есть имеет начало и конец.

На числовой оси в точке ноль имеют начало все базисы, общая для всех базисов формула алгоритма cppst_24.png.

Первый отрезок на числовой оси, с началом в точке 0, длиной cppst_21.png имеет простое число cppst_25.png. На любом отрезке cppst_21.pngс началом в произвольной точке, на интервале cppst_22.png есть простое число. Так как, даже при самом компактном распределении базисов, на начальном отрезке cppst_21.png, есть простое число cppst_25.png. А на отрезке cppst_21.png с началом в произвольной точке, при оригинальном расположение базисов, просто меняется местоположение простого числа. Более того, бывает, все базисы не помещаются в отрезок, и на отрезке может быть несколько простых чисел.

Вывод: На любом отрезке длиной cppst_21.pngна интервале cppst_22.png всегда есть простое число.

2. Гипотеза Лежандра, доказательство с помощью постулата Бертрана.

На интервале cppst_29.png всегда есть простое число. На любом отрезке длиной cppst_21.pngна интервале cppst_22.pngвсегда есть простое число.

На интервале cppst_22.png самая маленькая разница, между квадратами двух соседних чисел равна cppst_31.png.

Доказать, что эта наименьшая разница, при любом cppst_32.png, больше cppst_25.png.

Этим доказательством, докажем и гипотезу Лежандра.

На любом интервале cppst_29.png есть простое число.

Доказать:

При любом cppst_32.png

cppst_34.png

cppst_35.png

cppst_36.png

Постулат Бертрана, доказанный Чебышевым. Первый из результатов, содержащихся в мемуаре «О простых числах» — доказательство постулата высказанного Ж. Бертраном в 1845 году. Существует всегда простое число, большее чем (а) и меньшее (2а-2).

У нас возникла необходимость доказать, cppst_36.png, существует всегда простое число cppst_25.png, большее, чем cppst_32.png и меньшее cppst_38.png.

И мы можем сказать, при любом cppst_32.png

cppst_34.png

Неравенство верно. И гипотеза Лежандра доказана.

Гипотеза Гольдбаха.

cppst_40.png (1)

cppst_41.png (2)

Формула (1) гипотеза Гольдбаха. Формула (2) отрезки между простыми числами, cppst_42.png - все чётные числа.

Почему доказательство гипотезы Гольдбаха, на разности простых чисел, а не на сумме? Потому что доказательство на разнице, это доказательство существование отрезка между двумя границам. Тогда как доказательство по сумме, это доказательство существования отрезка с ограничением только по одной стороне. Это чистая неопределённость.

Доказать, что при любом, cppst_32.pngcppst_44.png

cppst_44.png

cppst_45.png

cppst_46.png (3)

Равенство (3) выполняется при любом простом числе, cppst_32.png. Потому что правая часть равенства, cppst_47.png, все чётные числа cppst_42.png. Значит, при любом чётном числе, cppst_48.png. Можно подобрать, равное ему, чётное число cppst_47.png

Отсюда вывод, равенство

cppst_45.png

Верное равенство. А так как правая часть этого равенства даёт все чётные числа, значит и левая часть даёт все чётные числа. Что и требовалось доказать, 2t - все чётные числа.

Доказать: 2t/ — Все чётные числа.

Доказать: Размер отрезков, все чётные числа.

Обратимся к выводу рекуррентной формулы алгоритма решета Эратосфена

cppst_90.png

Алгоритм решета Эратосфена делит составные числа на группы. Первая группа составных чисел имеет вид, cppst_60.png при (n-1), cppst_61.png. Все составные числа из этой группы делятся на два. Вторая группа составных чисел имеет вид cppst_62.png эти составные числа, делятся на три и не делятся на два. И так далее.cppst_63.png Вид произвольной группы.

Обозначим каждую группу буквой G, с индексом, обозначающим номер группы. cppst_64.png— первая группа

Из первой группы формируются отрезки, состоящие из одного составного числа. На всей числовой оси. Из второй группы, добавляются к некоторым составным числам из первой группы, по одному числу и формируются отрезки, состоящие из двух последовательных составных чисел.

Добавляются, составные числа к отрезкам, по всей числовой оси, начиная с простого числа группы и до бесконечности.

Вопрос, всегда ли добавляются составные числа из групп, к самым большим предыдущим отрезкам.

Ответ, да добавляются.

Почему?

Основные свойства групп. Все составные числа в одной группе кратные одному простому числу. В группах нет одинаковых составных чисел. У каждой группы, свой алгоритм распределения чисел на числовой оси. У каждого алгоритма свой цикл, у каждого цикла свой размер, и свой порядок размещения составных чисел для одного цикла. Значит, на числовой оси, не возможен в бесконечности, никакой цикл, никакой алгоритм распределения простых чисел и распределения одинаковых отрезков в каком бы то ни было алгоритме циклов.

Из этого следует, невозможность отсутствия, какого либо размера отрезка из последовательных составных чисел. Значит.

Отрезки между простыми числами все чётные числа.

И суммирование по простым числам, то же даёт все чётные числа.

Доказательство гипотезы о бесконечности простых чисел, близнецов.

ЧИСЛА ПРИМЕСИ

Числа примеси — это составные числа, которые неполная формула алгоритма, принимает и учитывает в расчётах как простые числа.

cppst_65.png — (1) Формула точного зачения количества простых чисел на интервале cppst_66.png

Неполная формула, это формула (1) при значении (n-t). (n) — номер простого числа.

Основное свойство чисел примеси. Они никогда не повторяются при изменении числа (t).

Доказательство основного свойства чисел примеси.

Основное свойство чисел примеси, получается из вывода формулы алгоритма решета Эратосфена. В выводе, с каждым шагом, сначала вычитаются все числа, делящиеся на два, потом на три с удалением повторов. То есть при втором шаге вывода формулы аогоритма, вычитаются только делящиеся на три, но не на два и три. Из этого следует, при каждом последующем шаге вывода формулы алгоритма, вычитаются составные числа ранее не встречающиеся. Вот поэтому числа примеси, никогда не повторяются при изменении (t).

cppst_67.png — (2) Формула алгоритма рещета Эратосфена.

Если в формуле (2) убрать первый множитель получим cppst_68.png

cppst_69.png — (3) Формула количества чисел близнецов и плюс простые числа на интервале cppst_66.png

cppst_70.png — (4) Формула количества простых чисел близнецов на интервале cppst_66.png

Упростим выражение формулы (4)

cppst_71.png

cppst_72.png

cppst_73.png

cppst_74.png

cppst_75.png  (4)

Формула (1) не даёт абсолютно точного результата. Небольшая разница получается из неучтённых нюансов. Пренебрежение малыми величинами. Так как результат не отшлифован, утверждать, что на каждом интервале. cppst_66.png Будет расти количество простых чисел близнецов, я не могу. Зато можно утверждать, исходя из формулы (4), что количество простых чисел близнецов будет расти бесконечно.

Гипотеза о бесконечности простых чисел, близнецов — доказана.