Евразийский
научный
журнал

О количестве нулей уравнения y^IV±γq(t)=0

Поделитесь статьей с друзьями:
Автор(ы): Эгамбердиева Барнахон Гулямджановна
Рубрика: Физико-математические науки
Журнал: « Евразийский Научный Журнал №10 2016»  (октябрь)
Количество просмотров статьи: 739
Показать PDF версию О количестве нулей уравнения y^IV±γq(t)=0

Эгамбердиева Барнахон Гулямджановна
Преподаватель кафедры «Высшей математики
и информационных технологий»
Андижанский сельскохозяйственный институт
E-mail: serius-bexruz@mail.ru

Пусть q(t)- кусочно-непрерывная, ограниченная, неотрицательная функция на отрезке a≤t≤b. Через N(γ) обозначим количество двукратных нулей нетривиального решения y(t;γ) уравнения

mf_1.png              (1)

на отрезке a≤t≤b, то есть mf_13.png

Справедлива следующая теорема:

Теорема: Имеет место соотношение:

mf_15.png

где ω - первый положительный корень уравнения chωcosω=1.

Доказательство:

а) пусть γq(t)=k4=const,a≤t≤b. Тогда нетрудно заметить, что уравнение (1) имеет общее решение вида:

mf_23.png

Обозначим через mf_25.png- две соседние двукратные нули решения y(t), т.е.

mf_29.png

Далее положив mf_31.png получим, что mf_33.png, т.е.
mf_35.png
Пусть ω - первый положительный корень уравнения mf_19.png, где  mf_37.png.
Отсюда заключаем, что mf_39.png, т.е. mf_41.png .

Тогда число нулей mf_7.png уравнения (1) на отрезке mf_5.png равно
mf_43.png

Поэтому
mf_15.png

б) пусть теперь mf_3.png - ступенчатая функция. Отрезок mf_45.png разбит на конечное число отрезков mf_47.png и mf_49.png. Пусть mf_51.png число двукратных нулей решения mf_9.png уравнения (1) на отрезке mf_53.png Тогда согласно пункту а) очевидно, что

mf_55.png
т.е.
mf_15.png
 

с) пусть наконец, mf_3.png -произвольная кусочно-непрерывная функция. Разобьём отрезок mf_45.png на n равных частей mf_47.pngи положив при mf_63.png имеем:
mf_59.pngmf_61.pngmf_63.png
Пусть mf_65.png - решения уравнения (1) в котором вместо mf_3.png стоит mf_67.png Обозначим через mf_69.png число двукратных нулей mf_65.png корней на mf_45.png. Аналогичным образом определим mf_71.png. Тогда в силу теоремы сравнения Штурма, легко обнаружить, что
mf_73.png mf_75.png
Согласно предыдущим пунктам а) и б) имеем:
mf_77.png,
mf_79.png
Отсюда при mf_81.png получим утверждение теоремы.

Литература:

  1. В.В.Степанов. Курс дифференциальных уравнений. -М.:Наука.1959 г.
  2. Л.С.Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения.-М.:Наука.1974 г.
  3. Ю.Н.Бибиков. Общий курс дифференциальных уравнений. Изд.ЛГУ.,1981 г.