Евразийский
научный
журнал

Методы решения уравнений высших степеней

Поделитесь статьей с друзьями:
Автор(ы): Есин Валентин Васильевич
Рубрика: Физико-математические науки
Журнал: «Евразийский Научный Журнал №2 2016»  (февраль)
Количество просмотров статьи: 2220
Показать PDF версию Методы решения уравнений высших степеней

Есин Валентин Васильевич ,пенсионер


Аннотация

Предложенные в статье методы расширяют возможности использования математического аппарата и позволяют решать широкий круг народно-хозяйственных задач, в том числе, и исследования процессов, описываемых уравнениями высших степеней.

Ключевые слова: уравнение, метод, алгоритм, реализация.

Keywords:the equation, method, algorithm, realization.

Известно, что прямого  решения  алгебраических уравнений степени выше 4-й не существует [1].

Предлагаю методы решения уравнений 5-й и выше степеней. Их суть…

1.  Существует метод «касательных» для определения корня уравнения, находящегося  в некотором интервале.

Пусть f(x) – график функции, к которому проведена касательная в точке  y1. ;

Как видно из рисунка 1, чем меньше Δxi= xi+1-xi, тем ближе график f(x) приближается  к прямой линии.

Т. е. при малых Δx график функции f(x) можно заменить касательной к графику функции.

Тогда: Δf(x) =f(x1+Δx1)-f(x1)= f1(x1)*Δx1,

гдеf1(x1) – первая производная функцииf(x) в точке x1

Если в данном выражении f(x1+Δx1) приравнять к 0, то получим:

 Δx1 = - f(x1) / f1(x1)  . (1)

Найдя x2= x1+ Δx1=x1 - f(x1) / f1(x1)  ,  и определив значения f(x2) и f1(x2) , можно на очередном шаге найти значение x3 = x2 - f(x3) / f1(x3)  ,  и т. д. с каждым шагом приближаясь к графику функции f(x).

В итоге, через определенное количество шагов, можно с требуемой точностью найти корень исходного уравнения f(x) =0

Выражение (1) можно получить, если в известной преобразованной формуле бинома Ньютона [2]:

Fn(x+Δx)=fn(x)+f1(x)*Δx+ f11(x)*Δx2/2!+ f111(x)*Δx3/3!+….+ f( n) (x)*Δxn/n!(2)

(которая, кстати, получается путем замены в функции fn(x) аргумента Х на выражение Х+Δx)  - отбросить все члены, содержащие производные второго порядка и выше, и устремить f(x+Δx) к нулю.

(Действительно, при малых Δx выражениями Δx2, Δx3 ,Δxn…можно пренебречь.

Однако не стоит забывать о коэффициентах при Δx2, Δx3 ,Δxn, а также о стационарных точках, когдаf1(x)=0.)

 

2.  Если же в выражении (2) отбрасывать не все последующие члены, а только последний член,содержащий Δxn, то можно получить другую функциюψ1(x), график которой с большей достоверностью приближается к функции f(x), чем график прямой линии.

Тогда:

ψ1(x1+Δx1)= f (x1)+f 1(x1)*Δx1+ f 11(x1)*Δx12/2+ f 111(x1)*Δx13/3!+….+

f ( n-1) (x1)*Δx1n-1 /(n1)! (3)

Устремив выражение ψ1(x1+Δx1) 0, мы получаем уравнение (n-1)-степени относительно Δx1:

Δx1n-1+а1*Δx1n-2+в1*Δx1n-3+…+k1=0 (4)

где: коэффициенты а1,в1…k1- получаются путем деления каждого члена ψ1(x1+Δx1) на выражение f( n-1) (x1)/(n-1)!

Решив уравнение (4), получаем значение Δx1, а следовательно,уточненное значение корня x= x1+Δx1, при котором f(x) стремится к 0.

При необходимости, повторяя данный прием, мы находим новую функцию ψ2 (x), следовательно, и новое уравнение

Δx2n-1+а2*Δx2n-2+в2*Δx2n-3+…+k2 = 0  ,  (5) 

    где: коэффициенты а2,в2…k2- получаются путем деления каждого члена ψ2(x2+Δx2) на выражение f( n-1) (x2)/(n-1)!

Решая уравнение (5), находим значения Δx2и соответственно x3 =x2+Δx2 и т.д., пока не найдем корень исходного уравнения f(x)=0 :

X1 = x1 + Δx1 + Δx2 + Δx3 …+ Δxn(6)

;Как видно из рис.2 и подтверждает практика решения уравнений  [3], здесь уже нет жесткого ограничения на стремление Δxi  к 0, и требуется гораздо меньшее  число шагов для определения (уточнения) одного из корней уравнения.

Таким образом, от уравнения f(x) (n)-степени мы перешли к последовательному решению уравнений(n-1)-степени (пусть и относительно новой переменной Δx), т.е.фактически понизили степень уравнения.