Методы решения уравнений высших степеней

Аннотация

Предложенные в статье методы расширяют возможности использования математического аппарата и позволяют решать широкий круг народно-хозяйственных задач, в том числе, и исследования процессов, описываемых уравнениями высших степеней.

Ключевые слова: уравнение, метод, алгоритм, реализация.

Keywords:the equation, method, algorithm, realization.

Известно, что прямого  решения  алгебраических уравнений степени выше 4-й не существует [1].

Предлагаю методы решения уравнений 5-й и выше степеней. Их суть…

1.  Существует метод «касательных» для определения корня уравнения, находящегося  в некотором интервале.

Пусть f(x) – график функции, к которому проведена касательная в точке  y_{1. ;}

Как видно из рисунка 1, чем меньше Δx_i= x_i+1-x_i, тем ближе график f(x) приближается  к прямой линии.

Т. е. при малых Δx график функции f(x) можно заменить касательной к графику функции.

Тогда: Δf(x) =f(x₁+Δx₁)-f(x₁)= f¹(x₁)*Δx_1,

гдеf¹(x₁) – первая производная функцииf(x) в точке x₁

Если в данном выражении f(x₁+Δx₁) приравнять к 0, то получим:

 Δx₁ = - f(x₁) / f¹(x₁)  _. (1)

Найдя x₂= x₁₊ Δx₁₌x₁ - f(x₁) / f¹(x₁)  _,  и определив значения f(x₂) и f¹(x₂) _, можно на очередном шаге найти значение x₃ = x₂ - f(x₃) / f¹(x₃)  _,  и т. д_. с каждым шагом приближаясь к графику функции f(x).

В итоге, через определенное количество шагов, можно с требуемой точностью найти корень исходного уравнения f(x) =0

Выражение (1) можно получить, если в известной преобразованной формуле бинома Ньютона [2]:

Fⁿ(x+Δx)=fⁿ(x)+f¹(x)*Δx+ f¹¹(x)*Δx²/2!+ f¹¹¹(x)*Δx³/3!+….+ f^{( n)} (x)*Δxⁿ/n!(2)

(которая, кстати, получается путем замены в функции fⁿ(x) аргумента Х на выражение Х+Δx)  - отбросить все члены, содержащие производные второго порядка и выше, и устремить f(x+Δx) к нулю.

(Действительно, при малых Δx выражениями Δx², Δx³ ,Δxⁿ…можно пренебречь.

Однако не стоит забывать о коэффициентах при Δx², Δx³ ,Δxⁿ, а также о стационарных точках, когдаf¹(x)=0.)

2.  Если же в выражении (2) отбрасывать не все последующие члены, а только последний член,содержащий Δxⁿ, то можно получить другую функциюψ₁(x), график которой с большей достоверностью приближается к функции f(x), чем график прямой линии.

Тогда:

ψ₁(x₁+Δx₁)= f (x₁)+f ¹(x₁)*Δx₁+ f ¹¹(x₁)*Δx₁²/2+ f ¹¹¹(x₁)*Δx₁³/3!+….+

f ^{( n-1)} (x₁)*Δx₁^n-1 /(n1)! (3)

Устремив выражение ψ₁(x₁+Δx₁) 0, мы получаем уравнение (n-1)-степени относительно Δx₁:

Δx₁^n-1+а1*Δx₁^n-2+в1*Δx₁^n-3+…+k1=0 (4)

где: коэффициенты а1,в1…k1- получаются путем деления каждого члена ψ₁(x₁+Δx₁) на выражение f^{( n-1)} (x₁)/(n-1)!

Решив уравнение (4), получаем значение Δx_1, а следовательно,уточненное значение корня x₂  = x₁+Δx₁, при котором f(x) стремится к 0.

При необходимости, повторяя данный прием, мы находим новую функцию ψ₂ (x), следовательно, и новое уравнение

Δx₂^n-1+а2*Δx₂^n-2+в2*Δx₂^n-3+…+k2 = 0  ,  (5) 

    где: коэффициенты а2,в2…k2- получаются путем деления каждого члена ψ₂(x₂+Δx₂) на выражение f^{( n-1)} (x₂)/(n-1)!

Решая уравнение (5), находим значения Δx₂и соответственно x₃ =x₂+Δx₂ и т.д., пока не найдем корень исходного уравнения f(x)=0 :

X1 = x₁ + Δx₁ + Δx₂ + Δx₃ …+ Δx_n(6)

;Как видно из рис.2 и подтверждает практика решения уравнений  [3], здесь уже нет жесткого ограничения на стремление Δx_i  к 0, и требуется гораздо меньшее  число шагов для определения (уточнения) одного из корней уравнения.

Таким образом, от уравнения f(x) (n)-степени мы перешли к последовательному решению уравнений(n-1)-степени (пусть и относительно новой переменной Δx), т.е.фактически понизили степень уравнения.

3.Поскольку любой многочлен f(x), имеющий корниx_i , можно представить в виде произведения:(x-x₁)*(x-x₂)*…(x-x_i),

то, поделив f(x) на (x-x1), мы  получаем новый многочлен, а, следовательно, и новую функцию φ(x) (n-1)-степени, (снова понижение степени уравнения) решая которую, мы получаем все остальные корни исходного уравненияf(x)=0:X_2,X_3,X_4,X_5.

Все эти три приема используются в программной реализации метода[3]:

1- в качестве дополнительного,2 и 3- в качестве основного.

4.    Решения уравнений высших степеней можно пояснить на примере решения уравнения 5-й степени в виде блок – схемы, изображенной на рис 3.