Евразийский
научный
журнал

Краевая задача для уравнения гиперболо-параболического типа четвертого порядка

Поделитесь статьей с друзьями:
Автор(ы): Шхагапсоев Амур Муаедович
Рубрика: Физико-математические науки
Журнал: «Евразийский Научный Журнал №4 2018»  (апрель, 2018)
Количество просмотров статьи: 854
Показать PDF версию Краевая задача для уравнения гиперболо-параболического типа четвертого порядка

А. М. Шхагапсоев
ФГБНУ «Институт прикладной математики и автоматизации»
360000, КБР, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89-а
E-mail: ipma@niipma.ru

Аннотация: Рассматривается краевая задача для уравнения смешанного гиперболо-параболического типа четвертого порядка. В гиперболической части найдено решение в явном виде, а в параболической части решение уравнения выписывается с помощью функции Грина первой краевой задачи. В линии соприкосновения y=0 получено обыкновенная дифференциальная уравнения третьего порядка, решая которого получаем граничное условие устраняющее некорректность задачи.

Ключевые слова: Уравнения смешанного типа четвертого порядка; локальная краевая задача; линеаризованное уравнение Кортевега-де-Фриза; функция Грина.

В настоящее время теория краевых задач для уравнений смешанного типа высокого порядка является одним из интенсивно развивающихся разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Различные краевые задачи для уравнений смешанного типа высокого порядка исследовались в работах [1-3].

При изучении волн поперечного колебания стержня[4], [5, с. 277] или при колебании балки [6, с. 289] возникают различные уравнения четвертого порядка. На важность подобных исследований в теории уравнений смешанного типа указывал А.В. Бицадзе. В качестве модельного уравнения четвертого порядка им было предложено уравнение [7]:

mtfzk_1.png

В данной работе рассматривается уравнение

mtfzk_2.png

в конечной областиmtfzk_3.png D2 — треугольник с вершинами

mtfzk_4.png

Определение. Регулярным решением уравнения (1) в области D назовем функциюmtfzk_5.png удовлетворяющую уравнению (1).

Задача. Найти регулярное в области D решениеmtfzk_6.png уравнения (1), удовлетворяющее следующим краевым условиям:

mtfzk_7.png

где n — внутренняя нормаль;mtfzk_8.png — заданные функции и выполняются условия согласования:mtfzk_9.png

Уравнение (1) в области D2 можно свести к системе уравнений

mtfzk_10.png

Из краевых условий (5) и (6) для Ф(x,y) получаем следующее:

 mtfzk_11.png

Решение задачи Гурса (8), (9) для уравнения

mtfzk_12.png

имеет вид

mtfzk_13.png

Известно, что решение уравнения

mtfzk_14.png

представимо в виде:

mtfzk_15.png

— пока неизвестные функции, а

mtfzk_16.png

Используя условие (4), из (10) получим следующее соотношение между mtfzk_17.png

mtfzk_18.png

— известная функция.

В области D1 переходя к пределу y → 0 в уравнении (1), получим соотношение между mtfzk_19.png в виде 

mtfzk_20.png

Решая систему уравнений (14) и (15) приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению

mtfzk_21.png

с граничными условиями

mtfzk_22.png

С помощью условий (17) уравнение (16) сводится к интегральному уравнению

mtfzk_23.png

где mtfzk_24.png

Обращая интегральное уравнение (18) используя условие (17) имеем

mtfzk_25.png

где

mtfzk_26.png

Далее рассмотрим уравнение (1) в параболической части.

Замена функции mtfzk_27.png, где N = const в уравнении (1) при y > 0 приводит к следующему виду

mtfzk_28.png

Рассмотрим тождество

mtfzk_29.png

Проделав некоторые преобразования из (21) получим

mtfzk_30.png

Интегрируя (22) по области

mtfzk_31.png

и применяя, формулу Грина получаем

mtfzk_32.png

где mtfzk_33.png граница области mtfzk_34.png

Переходя к пределу при mtfzk_35.png перепишем последнее в виде

mtfzk_36.png

Учитывая однородность условий (2), (13) и (18) получаем следующее равенство в виде

mtfzk_37.png

Докажем сначала, что mtfzk_38.png если mtfzk_39.png

Общее решение соответствующего дифференциального уравнения (16) имеет вид

mtfzk_40.png

Подставляя однородные граничные условия в общее решение, получим систему алгебраических уравнений относительно произвольных постоянных C1, C2 , C3 в виде

mtfzk_41.png

Решая систему (25), находим mtfzk_42.png. С учетом этого, выражение (23) примет вид

mtfzk_43.png

Число N выбираем так, что бы левая часть уравнения (26) стало больше либо равно нуля. Тогда при mtfzk_44.png следует, что mtfzk_45.png

Из этого следует, что исходная задача не может иметь более одного решения в области D1 и соответственно в области D

Теперь перейдем непосредственно к нахождению решения в области D1.

С помощью замены переменной

mtfzk_47.png

уравнение (1) в области D1 можно свести к более известному уравнению

mtfzk_48.png

рассмотренное в монографии [8].

Литература

  1. Елеев В.А. Краевые задачи для смешанного уравнения гиперболо-параболического типа третьего порядка // Нелинейные эволюционные уравнения в прикладной задаче. Киев, 1991. С. 36 — 38
  2. Елеев В.А. Об одной задаче с нелокальным сдвигом для уравнения смешанного типа третьего порядка // Материалы второго Международного Российско — Казахского симпозиума «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики». Нальчик, 2011. С. 69 — 71.
  3. Елеев В. А., Кумыкова С. К. Внутренекраевая задача для уравнения смешанного типа третьего порядка с кратными характеристиками // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2010. № 5. С. 5-14.
  4. Виноградова М. В., Руденко О. В., Сухоруков А. П. Теория волн. М.: Наука, 1990. — 432с.
  5. Релей Л. А. Теория звука. М.: ГИТТЛ, 1940. — 499с.
  6. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. М.: ГИФМЛ, 1959. — 440с.
  7. Бицадзе А. В. Уравнения смешанного типа. М.: АН СССР, 1959. — 164с.
  8. Джураев Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: ФАН, 1979. — 230с.